Trigonometric

La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.
Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che non matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Niccolò Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.

Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.
Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo o

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo o

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, periodiche, e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli oppure , in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

Iniziamo con una domanda innocente: Dato un bastone di lunghezza 1 inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale, quanto è lunga la sua ombra quando il sole lo illumina verticalmente? Si consideri lo schizzo a lato: Il segmento rosso rappresenta il bastone, la freccia rappresenta la luce che cade dall'alto. L'angolo a può essere scelto arbitrariamente (nell'esempio a lato abbiamo α = 51°). Si cerca la lunghezza del segmento verde.

A questo punto si ha una sorpresa che pone lo studente in una situazione completamente nuova. Il problema non è solubile con le operazioni di calcolo che abbiamo visto fino ad ora! Solo in casi eccezionali la lunghezza dell'ombra può essere espressa con numeri già noti (ad esempio per a = 60° la lunghezza è 1/2, per a = 45° è 2-1/2), mentre se prendiamo α = 51° otteniamo un numero (reale) che non si esprime in questo modo né in modo simile.

Pur non sapendo come calcolare la lunghezza dell'ombra per a = 51° (a titolo di esempio), è chiaro che questa è univocamente determinata dalla domanda posta sopra. Per ottenere una prima approssimazione, possiamo fare un disegno (possibilmente) preciso sullo stile di quello riportato più sopra e misurare la lunghezza del segmento verde. Troveremo un valore di circa 0.63. Un procedimento di questo tipo è però insoddisfacente dal punto di vista matematico. Quello che in ogni caso possiamo fare intanto è dare un nome al risultato esatto: lo chiamiamo coseno.


La lunghezza del segmento verde si esprime con cos a oppure cos(a) e si legge "Cosen alpha" oppure "Coseno di alpha". Poiché l'ombra è la lunghezza dell'immagine che il sole "proietta" sulla terra, possiamo anche dire: cos a è la lunghezza della proiezione di un segmento che - come nello schizzo qui a fianco a sinistra - è inclinato di angolo a e ha lunghezza 1. Se a = 51°, come nel nostro esempio, scriveremo cos(51°). Il simbolo cos(51°) rappresenta quindi un numero reale (circa uguale a 0.63), cos(60°) rappresenta un altro numero reale (e cioè 1/2), ecc.

La lunghezza del segmento verde si esprime con cos a oppure cos(a) e si legge "Cosen alpha" oppure "Coseno di alpha". Poiché l'ombra è la lunghezza dell'immagine che il sole "proietta" sulla terra, possiamo anche dire: cos a è la lunghezza della proiezione di un segmento che - come nello schizzo qui a fianco a sinistra - è inclinato di angolo a e ha lunghezza 1. Se a = 51°, come nel nostro esempio, scriveremo cos(51°). Il simbolo cos(51°) rappresenta quindi un numero reale (circa uguale a 0.63), cos(60°) rappresenta un altro numero reale (e cioè 1/2), ecc.


Analogamente possiamo illuminare il bastone con un raggio di luce in direzione orizzontale e chiederci quanto sarà lunga la sua ombra proiettata su una parete verticale. Anche questa lunghezza in generale non può essere espressa con uno dei metodi di calcolo a noi già noti. La chiameremo Seno.

La lunghezza del segmento blu nello schizzo qui a fianco a destra si esprime con sin α oppure sin(α) e si legge "Sen alpha" oppure "Seno di alpha". Anche questa volta si tratta di una proiezione, adesso però ad opera di un raggio di luce orizzontale. Possiamo anche interpretare sin α come la lunghezza apparente del bastone rosso sullo sfondo visto da una grande distanza. Se ad esempio abbiamo a = 51°, scriviamo sin(51°).

Seno e Coseno (e altre grandezze che ricaveremo più sotto) si chiamano funzioni trigonometriche. Il nome "funzione" deriva dal fatto, che a ciascun angolo a possiamo assegnare i due numeri sin a e cos a. Da un punto di vista matematico non c'è niente di eccezionale. Quando assegniamo a un numero x il suo quadrato scrivendo f(x) = x2 non facciamo niente di diverso. La differenza rispetto a formare il quadrato consiste soltanto nel fatto che il calcolo numerico di sin α e cos a per un angolo dato α è più complicato. Per fortuna possiamo delegare questo compito a strumenti come il computer o il calcolatore tascabile. Anche questi strumenti per la maggioranza degli angoli ci forniscono solo dei valori approssimati che però, come nel caso dell'estrazione di radice, sono sufficientemente precisi per quanto riguarda le applicazioni pratiche.



Funzioni







Vi preghiamo quindi di accettare il fatto che in questo capitolo non troverete spiegazioni su come i calcolatori effettuano queste operazioni. Ciò non ci impedisce comunque di utilizzare questi strumenti: